INTRODUCCIÓN

En este blog yo y mi compañero, escribimos información sobre el Cálculo Diferencial e Integral, sus antecedentes históricos más relevantes, los científicos que aportaron nuevos conceptos matemáticos y que fueron clave importante para el Cálculo y su desarrollo hasta en nuestros días y así también como se aplica en la vida cotidiana y en la resolución de problemas en nuestro entorno.

También escribimos ejemplos donde nosotros reflejamos su aplicación y nuestros puntos de vista sobre la importancia que tiene el cálculo.

ANTECEDENTES HISTÓRICOS

INTRODUCCIÓN

 El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo. Fueron quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. El extraordinario avance registrado por la matemática, la física y la técnica durante los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Cálculo infinitesimal.

EL SIGLO  XVII

En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos:

• Encontrar la tangente a una curva en un punto.

• Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.

• Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.

• Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante.

En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo, concluyendo en la obra cumbre del filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el físico-matemático inglés Issac Newton: la creación del cálculo. Los trabajos de Newton están motivados por sus propias investigaciones físicas mientras que Leibniz conserva un carácter más geométrico, trata a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad. Leibniz no habla de derivada sino de incrementos infinitamente pequeños, a los que llama diferenciales. Un incremento de x infinitamente pequeño se llama diferencial de x, y se anota dx. Lo mismo ocurre para y (con notación dy). Lo que Newton llamó fluxión, para Leibniz fue un cociente de diferenciales (dy/dx). Se puede decir que el cálculo de fluxiones de Newton se basa en algunas demostraciones algebraicas poco convincentes, y las diferenciales de Leibniz se presentan como entidades extrañas que, aunque se definen, no se comportan como incrementos.

Resulta muy interesante la larga y lamentable polémica desatada a raíz de la prioridad en el descubrimiento.

EL SIGLO XVIII

Durante buena parte del siglo los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva. Lagrange, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica, realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de "el Newton francés".

Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. La teoría de Newton se basó en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico y basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega.

EL SIGLO XIX

Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales. En 1821, un matemático francés, Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo y se dedicó a dar una definición precisa de "función continua". Basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite.

Gauss, uno de los más importantes matemáticos de la historia, dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Riemann. Otro importante avance fue el estudio de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas, herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas, hecho por Fourier. Cantor estudió los conjuntos infinitos y una aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor fue considerada demasiado abstracta y criticada. Gauss desarrolló la geometría no euclideana pero tuvo miedo de la controversia que pudiera causar su publicación. También en este siglo se pasa del estudio simple de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos.

Los fundamentos de la matemática fueron completamente transformados durante el siglo XIX.

SIGLO XX

En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert, contribuyó de forma sustancial en casi todas las ramas de la matemática retomó veintitrés problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que recién comenzaba.

VIDEO DE LA HISTORIA DEL CÁLCULO

En la actualidad hemos utilizado de maneras muy diversas las matemáticas sin darnos cuenta de ello; por ello les proporcionamos el siguiente video:

CÁLCULO DIFERENCIAL

Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada.

Cuando surgen cuestiones concernientes a la razón entre dos cantidades variables, entramos en los dominios del Cálculo Diferencial. Son por tanto objeto de estudio del cálculo diferencial temas como la velocidad  de una partícula en un momento determinado, la pendiente  de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de ésta, etc.

Incrementos: cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial. Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo Dx, que se le "delta x". El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al pasar de un valor a otro.

Derivada de una función: Sea f una función definida en todo número de algún intervalo I, la derivada de f es aquella función, denotada por f ', tal que su valor en cualquier número x de I, está dado por:

• Se dice que una función es diferenciable o derivable cuando es posible hallar su derivada.

CÁLCULO INTEGRAL

El cálculo integral se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos. Sus principales objetivos a estudiar son:

1. Área de una región plana.
2. Cambio de variable.
3. Integrales indefinidas.
4. Integrales definidas.
5. Integrales impropias.
6. Integrales múltiples (dobles o triples).
7. Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.
8. Métodos de integración.
9. Teorema fundamental del cálculo.
10. Volumen de un sólido de revolución.

El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la derivación, llamado integración.

Las reglas básicas de integración de funciones compuestas son similares a las de la diferenciación La integral de la suma (o diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus integrales, y lo mismo ocurre con la multiplicación por una constante. La integración suele ser más difícil que la diferenciación, pero muchas de las funciones más corrientes se pueden integrar utilizando éstas y otras reglas.

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Recta tangente a una función en un punto

La recta tangente a una función f(x) es el límite de las rectas secantes cuando uno de los puntos de corte de la secante con la función se hace tender hacia el otro punto de corte. Recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en su punto de tangencia.

 

Uso de las derivadas para realizar gráficos de funciones

Las derivadas son una útil herramienta para examinar las gráficas de funciones. En particular, los puntos en el interior de un dominio de una función de valores reales que llevan a dicha función a un extremo local tendrán una primera derivada de cero. Sin embargo, no todos los puntos críticos son extremos locales.

Aproximación local de Taylor

Mediante su recta tangente a una función derivable localmente en un punto. Si se cumple que la función es suficientemente suave en el punto o dominio de estudio (esto es, la función es de clase C^\infty) cabe la posibilidad de intentar aproximar a la función no por polinomios de grado uno, sino por polinomios de grado dos, tres, cuatro y sucesivamente. Esta aproximación recibe el nombre de "desarrollo polinómico de Taylor".

Cálculo de puntos

Puntos singulares

Se denominan puntos singulares ó estacionarios a los valores de la variable en los que se anula la derivada f '(x) de una función f(x), es decir, si f ´(x)=0 en x1, x2, x3, . . . , xn, entonces x1, x2, x3, . . . , xn son puntos singulares de f(x). Los valores f(x1), f(x2), f(x3), . . . , f(xn), se llaman valores singulares.

Puntos críticos

Un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a o b del dominio [a,b] de definición de la función.

Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, se dice que el punto es un mínimo local; si es negativa, se dice que el punto es un máximo local; si vale cero, puede ser tanto un mínimo, como un máximo o un punto de inflexión. Derivar y resolver en los puntos críticos es a menudo una forma simple de encontrar máximos y mínimos locales, que pueden ser empleados en optimización.

APLICACIÓNES DEL CÁLCULO EN LA VIDA COTIDIANA

Una ecuación diferencial por si sola puede describir el ritmo en que se mueve un objeto, que tanto dinero genera una cuenta de ahorros, la velocidad a la que crece o disminuye una población, la velocidad a la que se enfría o se caliente un objeto.

El cálculo diferencial e integral es la herramienta matemática mas poderosa que hay en la actualidad.

Sobre esa base de desarrolló la física como la conocemos hoy, la mecánica de fluido y su estudio hizo posible por ejemplo los aviones, las presas.

El descubrimiento de las leyes del electromagnetismo hicieron posible los electrodomésticos la TV y otros con el cálculo de circuitos.

En múltiples aplicaciones de ingeniería se parte del cálculo y derivadas para comprender problemas muy complejos, como en resistencia de materiales.

 Sirven para estudiar los cambios en los procesos, ya que la derivada es una razón de cambio y los límites nos sirven para evaluar la derivada.
Una aplicación de esto sería calcular la velocidad con la que cae un objeto a través de una rampa que tiene cierto ángulo de inclinación.

Ejemplo.- Abraham empezó un análisis de cuánto gastaba a la semana en gasolina a si que empezó un día lunes, siempre visitando los mismos lugares casa-trabajo.

Lunes gastó $47
Martes gastó $49
Miércoles gastó $49
Jueves gastó $ 51
Viernes gastó $46
Sábado gastó$34
Domingo gastó $30.

En este ejemplo podemos ver, cómo los cálculos de los gastos de Abraham son diferentes y variables, aquí claro ejemplo en la economía.